Title: Terminale / Maths / Chapitre 13 calcul intégral

Si f est continue et positive sur [a ; b], l'intégrale de a à b de la fonction f, notée \(\int_a^b f(x)dx\), est le réel représentant l'aire, en unités d'aire, de la portion du plan délimitée par 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.

Q: \(\int_a^a f(x)dx =\) [...]
A: 0

Q: \(\int_a^c f(x)dx\) = [...] + [...] (relation de [...])
A: \(\int_a^b f(x)dx\); \(\int_b^c f(x)dx\); Chasles

Si f est continue et positive sur [a ; b], F(x) = \(\int_a^x f(t)dt\) est la primitive de la fonction f sur l'intervalle [a ; b] qui s'annule en a.

Q: \(\int_a^b f(x)dx\) = [...] = [...] - [...] où F est une primitive de f sur [a ; b]
A: \([F(x)]_a^b\); F(b); F(a)

Q: \(\int_a^b f(x)dx\) = -[...]
A: \(\int_b^a f(x)dx\)

Q: \(\int_a^b (f(x) + g(x))dx\) = [...] + [...] ([...])
A: \(\int_a^b f(x)dx\); \(\int_a^b g(x)dx\); linéarité

Q: \(\int_a^b \lambda f(x)dx\) = [...] ([...])
A: \(\lambda \int_a^b f(x)dx\); linéarité

Q: Si f ≥ 0 sur [a ; b], \(\int_a^b f(x)dx\) [...] ([...])
A: ≥ 0; positivité

Q: Si f ≤ g sur [a ; b], \(\int_a^b f(x)dx\) [...] \(\int_a^b g(x)dx\) ([...])
A: ≤; ordre

Q: Si f est [...], [...] = [...]
A: paire; \(\int_{-a}^0 f(x)dx\); \(\int_0^a f(x)dx\)

Q: Si f est [...], [...] = [...]
A: impaire; \(\int_{-a}^0 f(x)dx\); -\(\int_0^a f(x)dx\)

posons ∀t∈[1 ; e], | u(t) = t | et | v(t) = ln(t)
d'où | u'(t) = 1 | et | v'(t) = 1/t
4 fonctions continues sur [1 ; e]
ainsi \(\int_1^e ln(t)dt\) = \([t ln(t)]_1^e\) - \(\int_1^e t \times {1\over t}dt\)

Lors d'une intégrations par parties, il faut toujours dériver le polynôme (sauf si on ne peut pas déterminer une primitive de l'autre fonction).

Q: \(\int_a^b u'(t)v(t)dt\) = [...] - [...] ([...])
A: \([u(t)v(t)]_a^b\); \(\int_a^b u(t)v'(t)dt\); intégration par parties

f est positive sur [a ; c], négative sur [c ; d] puis positive sur [d ; b]
d'où l'aire cherchée est égale à A(A_1) - A(A_2) + A(A_3) = \(\int_a^c f(x)dx\) - \(\int_c^d f(x)dx\) + \(\int_d^b f(x)dx\)

Q: A = [...] [unité]
A: \(\int_a^b (f(x) - g(x)) dx\); u.a.

Q: Valeur moyenne de f sur [a ; b] = [lettre] = [...]
A: µ; \({1 \over b - a} \int_a^b f(x)dx\)