Title: Terminale / Maths / Chapitre 06 orthogonalité et distances

Q: u . v = [...] × [...] × [...](u, v)
A: ||u||; ||v||; cos

Q: AB . AC = [...] × [...] × [...](^ BAC)
A: AB; AC; cos

AB . AC = AB . AH où H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB)

Q: [...] ≡ [...] = [...]
A: u ⟂ v; u . v; 0

u . v = ½(||u + v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2)

AB . AC = ½(AB^2 + AC^2 - BC^2)

Deux droites de l'espace sont orthogonales si et seulement si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.

Soit P un plan de l'espace de base (u, v) et d une droite de l'espace de vecteur directeur w.
La droite d et le plan P sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si w est orthogonal à la fois à u et à v.

Q: Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est [...] à [...] droites [...] de ce plan.
A: orthogonale; deux; sécantes

Q: Si une droite est orthogonale à un plan, alors elle est [...] à toute [...] de ce [...].
A: orthogonale; droite; plan

Q: Si deux droites sont parallèles, alors tout [...] orthogonal à l'une est [...] à l'autre.
A: plan; orthogonal

Q: Si deux plans sont parallèles, alors toute [...] orthogonale à l'un est [...] à l'autre.
A: droite; orthogonale

Q: Si deux plans sont [...] à une même droite, alors ils sont [...] entre eux.
A: orthogonaux; parallèles

Un vecteur n est normal à un plan de base (u, v) s'il est non nul et orthogonal à la fois à u et à v.

Il existe un unique plan passant par un point A et de vecteur normal n.

Q: Un vecteur normal à un plan est [...] à tous les vecteurs [...] de ce plan.
A: orthogonal; directeurs

Q: Tous les vecteurs normaux à un plan sont [...] entre eux.
A: colinéaires

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si un vecteur directeur de cette droite est orthogonal à un vecteur normal de ce plan.

Deux plans sont parallèles si et seulement si un vecteur normal de l'un est colinéaire à un vecteur normal de l'autre.

Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est orthogonal à un vecteur normal de l'autre.

Q: Si deux droites sont [...], alors toute droite orthogonale à l'une est [...] à l'autre.
A: parallèles; orthogonale

Q: Si deux droites sont [...], alors toute droite parallèle à l'une est [...] à l'autre.
A: orthogonales; orthogonale

Il existe un unique plan passant par A et orthogonal à d.
La droite d est alors sécante avec ce plan et leur point d'intersection est appelé le projeté orthogonal de A sur d.

Il existe une unique droite passant par A et orthogonale à 𝓟.
Le plan 𝓟 est alors sécant avec cette droite et leur point d'intersection est appelé le projeté orthogonal de A sur 𝓟.

Une base orthonormée de l'espace est une base de l'espace telle que ses trois vecteurs soient deux à deux orthogonaux et tous de norme 1.

Q: Un repère orthonormé (O; i, j, k) est un [...] telle que la [...] (i, j, k) soit [...].
A: repère; base; orthonormée

Q: En notant u
x
y
z
et v
x'
y'
z'
, on a u . v = [...] + [...] + [...].
A: x x'; y y'; z z'

Q: En notant A
x_A
y_A
z_A
et B
x_B
y_B
z_B
, on a AB = √[...] + [...] + [...]
A: (x_B - x_A)^2; (y_B - y_A)^2; (z_B - z_A)^2

Q: Formule de la distance d'un point à un plan (avec A, B, H et n)
A: \[AH = {|\overrightarrow {AB} . \vec n| \over ||\vec n||}\]