Title: Terminale / Maths / Chapitre 03 dérivation, convexité et continuité

On appelle composée de u par v la fonction f définie par (v ∘ u)(x) = v(u(x)).

Q: (v ∘ u)' = [...]
A: (v' ∘ u) × u'

Q: (e^u(x))' = [...]
A: u'(x) e^u(x)

Q: \(\left(\sqrt{u(x)}\right)'\) = [...]
A: \({u'(x) \over 2\sqrt{u(x)} }\)

Q: (u(x)^n)' = [...]
A: n u'(x)(u(x))^n-1

Q: f'', [...] de f, est la dérivée de [...].
A: dérivée seconde; f'

Q: f est [...]
A: convexe

Q: f est [...]
A: concave

Q: f est [...] = f'' est [...] = f' est [...]
A: convexe; positive; croissante

Q: f est [...] = f'' est [...] = f' est [...]
A: concave; négative; décroissante

Q: f est convexe si C_f est [...] de toutes ses tangentes.
A: au-dessus

Q: f est [...] si C_f est [...] de toutes ses tangentes.
A: concave; au-dessous

Si f'' s'annule et change de signe en a, alors C_f admet un point d'inflexion au point d'abscisse a.

Si f' change de sens de variation en a, alors C_f admet un point d'inflexion au point d'abscisse a.

Q: f est continue en a lorsque [...].
A: \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)

Une fonction est continue si sa courbe représentative ne présente aucune rupture (on peut la tracer sans lever le crayon).

Q: Toute fonction dérivable est [...].
A: continue

Si (u_n) converge vers a, alors la suite (f(u_n)) converge vers f(a).

f est continue (car dérivable) et strictement croissante sur [-10 ; -4]
de plus, 0 ∈ [-10 ; 4] d'où, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [-10 ; -4]

f admet un minimum sur [-10 ; 8] égal à -5
d'où, ∀x∈[-10 ; 8], -7 < -5 ≤ f(x)
ainsi l'équation f(x) = -7 n'admet pas de solution dans [-10 ; 8]

f admet un maximum sur [-10 ; 5] égal à 10
d'où, ∀x∈[-10 ; 5], f(x) ≤ 10 < 11
ainsi l'équation f(x) = 11 n'admet pas de solution dans [-10 ; 5]